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3 札记/线性代数.md

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+## 向量
+向量的定义与本质：既有大小，又有方向，区别于标量。
+向量支持的运算：模、范数、加减、标量乘法、内积、投影
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+向量内积也叫标量积，也叫点乘。
+内积计算：对应分量相乘再求和，结果为标量。
+	► 内积运算性质：掌握交换律、分配律、数乘结合律等基本代数性质。内积的结果为标量。内积也叫点积。
+	► 几何意义：内积等于两个向量长度与其夹角余弦值的乘积。
+	► 判断正交性：利用内积为零判断两个向量是否正交。
+	► 夹角与相似性关系：夹角越小，向量方向越相近
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+标量投影
+![[Pasted image 20260715145109.png]]
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+向量投影
+![[Pasted image 20260715145217.png]]
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+## 矩阵
+乘法。能相乘的前提是 A 的列数等于 B 的行数。不满足交换律。
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+### 第一视角
+![[Pasted image 20260728134846.png]]
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+### 第二视角
+![[Pasted image 20260728134922.png]]
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+除法。所谓矩阵 B 除以矩阵 A，就是 B@A逆
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+![[Pasted image 20260728140426.png]]
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+## 行列式
+只有方阵才有行列式。
+行列式是一个标量。
+行列式用来判断矩阵是否可逆。只有当行列式不为零时，方阵才可逆，行列式为零则方阵称为奇异矩阵 (singular matrix)，不可逆。
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+![[Pasted image 20260711183406.png]]
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+ihat 和 jhat 是基准变换后的坐标。
+x，y 是个任意坐标，变换后就是位置就是 x ihat + y jhat
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+欧几里得几何基于**5条公设（几何公理）**和**5条公理（一般概念）**，并由此推导出众多性质。
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+**一、5条公设（几何层面的基本假设）**
+1. **直线公设**：从任意一点到任意一点可作直线。
+2. **延长公设**：一条有限直线可以继续延长。
+3. **圆公设**：以任意点为心及任意距离可以作圆。
+4. **直角公设**：凡直角都相等。
+5. **平行公设**（最关键）：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角之和小于两直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。（**等价表述**：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）。
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+**二、5条公理（适用于所有科学的通用概念）**
+1. 等于同量的量彼此相等。
+2. 等量加等量，其和仍相等。
+3. 等量减等量，其差仍相等。
+4. 彼此能重合的物体是全等的。
+5. 整体大于部分。
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+**三、由此推导出的主要性质（初中常见）**
+- **三角形**：内角和为180°；两边之和大于第三边。
+- **全等与相似**：SAS、ASA、SSS、AAS（全等）；对应边成比例（相似）。
+- **平行线**：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
+- **圆**：半径相等；同弧所对圆周角等于圆心角的一半。
+- **勾股定理**：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。
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+> **特别提示**：第五条公设（平行公设）无法由前四条证明。若将其修改或否定，就会衍生出**非欧几何**（如黎曼几何和罗巴切夫斯基几何）。
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+## 矩阵的逆
+求解矩阵的逆，**前提条件**是矩阵必须是**方阵**（行数=列数），且其**行列式不为0**（即满秩矩阵，也称非奇异矩阵）。如果行列式为0，则矩阵不可逆。
+### 二阶矩阵有公式
+![[Pasted image 20260730105550.png]]
+### 通用手工方法：高斯约当消元法
+思路是将原矩阵和单位矩阵“捆绑”在一起，通过行变换将左边变成单位阵，右边自动就变成逆矩阵。
+![[Pasted image 20260730105811.png]]
+### 计算机方法
+- LU 分解法
+- 奇异值分解
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+![[Pasted image 20260730110409.png]]
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+## 鸡兔同笼问题
+![[Pasted image 20260730104354.png]]
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+![[Pasted image 20260730104413.png]]
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+其实就是求解矩阵A的逆乘以矩阵b
+![[#矩阵的逆]]