RSA 算法是一种非对称加密算法。加密密钥（即公开密钥）PK 是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥）SK是需要保密的。而加密算法 E 和解密算法 D 也都是公开的。虽然解密密钥 SK 是由公开密钥 PK 决定的，但却不能根据 PK 计算出 SK 。

根据数论，寻求两个大素数比较简单，而将它们的乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥称作公钥。如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。


#### 数学知识

> **公因子**
> 一个数学概念，指的是能同时整除几个整数的整数，可以用辗转相除法算出。


**质数（素数）**

>一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。


**互质关系**

>  如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。 两个合数存在互质关系吗？例如 15，44 也没有公因子，这说明不是质数也可以构成互质关系。

**互质关系结论**
_1. 任意两个质数构成互质关系，比如 13 和  61。_
_2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。_
_3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。_
_4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。_
_5. p是大于1的整数，则 p和 p-1 构成互质关系，比如57和56。_
_6. p是大于1的奇数，则 p和 p-2 构成互质关系，比如17和15。_

**欧拉函数**
请思考以下问题：

>任意给定正整数n，请问在小于等于 n 的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做[欧拉函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0)，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

**第一种情况**

如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

**第二种情况**

如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

**第三种情况**

如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则

$$ \phi (\sideset{}{^k}p)=\sideset{}{^k}p-\sideset{}{^{k-1}}p $$

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：

$$ \phi (\sideset{}{^k}p)=\sideset{}{^k}p-\sideset{}{^{k-1}}p = \sideset{}{^k}p(1-\frac{1}{p}  )$$


**第四种情况**
如果n可以分解成两个互质的整数之积，

> 　　n = p1 × p2

则

> 　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到["中国剩余定理"](https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem)，思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。


**第五种情况**
因为任意一个大于 1 的正整数，都可以写成一系列质数的积。
$$ n=\sideset{}{_1^{k1}}p\sideset{}{_2^{k2}}p...\sideset{}{_r^{kr}}p $$
根据第4条的结论，得到
$$  \phi(n)=\phi(\sideset{}{_1^{k1}}p)\phi(\sideset{}{_2^{k2}}p)...\phi(\sideset{}{_r^{kr}}p)  $$
再根据第3条的结论，得到
$$  \phi(n)=\sideset{}{_1^{k1}}p\sideset{}{_2^{k2}}p...\sideset{}{_r^{kr}}p(1-\frac{1}{\sideset{}{_1}p})(1-\frac{1}{\sideset{}{_2}p})(1-\frac{1}{\sideset{}{_r}p})  $$
也就等于

$$  \phi(n)=n(1-\frac{1}{\sideset{}{_1}p})(1-\frac{1}{\sideset{}{_2}p})(1-\frac{1}{\sideset{}{_r}p})  $$
这就是欧拉函数的通用公式。例如计算 1323 在小于等于 1323 的正整数之中，有多少个与 n 构成互质关系？带入公式得到 756。真太神奇了。


**欧拉定理**
欧拉函数的用处，就在于欧拉定理。欧拉定理指的是：如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：

$$ \sideset{}{^{\phi(n)}}a\equiv 1 (\bmod n ) $$

也就是说，a 的 φ(n) 次方被 n 除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

欧拉定理的证明比较复杂，无力证明，只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理有： $$ \sideset{}{^{\phi(10)}}7\equiv 1 (\bmod 10 ) $$
已知 φ(10) 等于4，所以马上得到 7 的 4 倍数次方的个位数肯定是 1。



**模反元素**

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。

$$ ab \equiv 1 (\bmod n )  $$

这时，b就叫做a的["模反元素"](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1%E5%8F%8D%E5%85%83%E7%B4%A0)。

比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。



### **RSA原理**

**密钥生成过程**

|步骤|概述|公式|说明|
|---|---|---|---|
|1|随机p，q|p,q |选择一对不相等且足够大的质数 |
|2|求n|n = p\*q |计算质数p，q的乘积 |
|3|求φ(n) |φ(n) = (p-1)(q-1) |计算 n 的欧拉函数|
|4|求e|1 < e < φ(n)|选一个和 φ(n) 互质的整数e|
|5|求d|ed = 1 (mod φ(n))|计算出e对于φ(n)的模反元素d|
|6|公钥 |e,n|PK(e, n) |
|7|私钥 |d,n |SK(d, n)|



**第一步：随机 p，q**
p，q 为不相等且足够大的质数。

**第二步：求n**

n 的长度就是密钥长度。例如：n = p * q = 11 * 3 = 33;

33 写成二进制是100001，一共有6位，所以这个密钥就是6位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。


**第三步：求 n 的欧拉函数φ(n)**

根据欧拉函数，求 n 的欧拉函数φ(n)= φ(pq)= φ(p) φ(q)= (p-1)(q-1)

**第四步：求e**

> 随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。